ელიფსი

ელიფსი, რომელიც მიღებულია კონუსისა და სიბრტყის გადაკვეთით

ელიფსი (ბერძნ. ἔλλειψις) მათემატიკაში მარტივი ალგებრული მრუდია, რომელშიც დისტანციათა ჯამი მრუდზე აღებული ნებისმიერი წერტილიდან ფოკუსებამდე მუდმივია.

თუ კონუსს გადავჭრით სიბრტყეზე, რომელიც მის ფუძეს არ გადაკვეთს, კონუსისა და სიბრტყის გადაკვეთა ელიფსი იქნება(დამტკიცებისთვის იხ. დანდელინის სფეროები).

ელიფსის კერძო შემთხვევაა წრეწირი.

ელისფსის დახაზვა

იხილეთ ვიდეო

ელიფსის დახაზვა შეიძლება ორი ჭიკარტით, ძაფითა და ფანქრით. ჭიკარტები მაგრდება ფოკუსებზე; ძაფის ბოლოები მაგრდება ჭიკარტებზე და ფანქარი თავსდება ჭიკარტებს შუა ძაფის შიგნით ისე, რომ ძაფი დაიჭიმოს. ამგვარად ძაფი სამკუთხედს შექმნის. თუ ფანქარს ავამოძრავებთ ჭიკარტებს ირგვლივ ისე, რომ ძაფი დაჭიმული დარჩეს, დისტანციათა ჯამი ფანქრიდან ჭიკარტებამდე უცვლელი დარჩება, რაც აკმაყოფილებს ელიფსის განსაზღვრებას.

ელიფსის თვისებები

ელიფსი და მისი თვისებები

ელიფსი არის გლუვი მრუდი, რომელსაც გააჩნია ვერტიკალური და ჰორიზონტალური სიმეტრიის ღერძები. ცენტრზე გამავალი მონაკვეთის სიგრძე, რომლის ბოლო წერტილები ელიფსზეა, მაქსიმალურია თუ მონაკვეთი ემთხვევა მთავარ ღერძს, ხოლო მინიმალური როდესაც მინორულ ღერძს(მათი ნახევრები არიან a და b სურათზე).

ფოკუსები(სურათზე F₁ F₂) არის არსებითი ელემენტი ელიფსის, რომლებიც მდებარეობენ მთავარ ღერძზე ცენტრიდან დაშორებული ტოლი მანძილით. ჯამი ელიფსის ნებისმიერი წერტილიდან ფოკუსებამდე არის მუდმივი და ტოლია PF₁ + PF₂ = 2a (იხ. სურათი).

განტოლებები

ელიფსის ფორმულა, რომლის მთავარი და მინორული ღერძები ემთხვევა აბსცისასა და ორდინატას ჩაიწერება შემდეგი სახით: $\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1.$ ამასთან 0 < b ≤ a. ამ შემთხვევაში სიდიდე a და b არიან შესაბამისად ელიფსის დიდი და პატარა პოლუსები. ელიფსის პოლუსების ცოდნით შეიძლება გამოვთვალოთ ფოკალური მანძილი და ექსცენტრისიტეტი:

$|F_{1}F_{2}|=2{\sqrt {a^{2}-b^{2}}},\ e={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}<1.$

ანალიტიკურ გეომეტრიაში, ელიფსი განმარტებულია, როგორც დეკარტის კოორდინატთა სისტემაში არსებული (X,Y) წერტილთა სიმრავლე, რომლებიც აკმაყოფილებენ შემდეგ ტოლობას:

$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$

სადაც $B^{2}<4AC$, ფუნქციის ყველა კოეფიციენტი ნამდვილი რიცხვია და არსებობს ერთზე მეტი ამომხსნელი, განსაზღვრული ელიფსზე მდებარე (x, y) წერტილთა წყვილებით.

ლიტერატურა

• თარგი:Cite book
• თარგი:Cite book
• თარგი:Citation
• თარგი:Cite book